Carlos Raymond
31ª Feira de Ciências do Colégio Militar de Curitiba · agosto de 2026
Documento técnico completo, escrito para quem nunca viu o projeto.
Resumo. Este trabalho investiga quando parar de estudar. Adaptando o Teorema do Valor Marginal — formulado por Charnov em 1976 para descrever quanto tempo um animal deve permanecer forrageando numa mancha de alimento — mede-se o rendimento de sessões de estudo e determina-se o instante em que continuar deixa de compensar. Nove sessões experimentais foram conduzidas com dois participantes. O rendimento instantâneo ajusta-se a r(t)=c+b\,e^{-kt}, cuja integração fornece S(t)=c\,t+\frac{b}{k}(1-e^{-kt}). O achado central contraria a premissa clássica: o ganho acumulado não satura — o termo linear responde por 74% a 100% do total em sete ajustes independentes. A recuperação após pausas de cinco minutos mostrou-se incompleta, entre 0,69 e 0,74. Obtém-se uma solução fechada para o limiar em termos da função W de Lambert, e estima-se o limiar entre 21 e 36 minutos para pausas curtas.
Todo estudante conhece a experiência de continuar estudando muito depois de o estudo ter parado de render. Sabe-se que existe um ponto além do qual insistir custa mais do que produz, mas esse ponto é tratado por intuição, por regras de bolso ou por métodos populares sem validação — o Pomodoro, com seus vinte e cinco minutos, é o exemplo mais difundido.
A pergunta deste trabalho é se esse ponto pode ser medido e calculado em vez de estimado. Formalmente: existe um instante ótimo de interrupção, e ele é determinável a partir de dados de desempenho coletados durante a própria sessão?
Em 1976, o ecólogo Eric Charnov publicou a solução de um problema aparentemente distante. Um animal forrageia numa mancha de alimento — um arbusto com frutos, um tronco com insetos. Conforme come, a mancha empobrece e cada minuto adicional rende menos. Em algum momento compensa abandoná-la e viajar até outra mancha, mas a viagem custa tempo em que nada se colhe.
Charnov demonstrou que o forrageador que maximiza o ganho de longo prazo deve abandonar a mancha quando a taxa instantânea de ganho iguala a taxa média do ambiente. O resultado ficou conhecido como Teorema do Valor Marginal e é um dos pilares da ecologia comportamental.
Definem-se três grandezas, todas funções do tempo t em minutos desde o início do bloco de estudo:
onde x é a duração da pausa planejada. Apenas a terceira admite máximo interior: S apenas cresce, e maximizá-la mandaria nunca parar; r apenas decai, e maximizá-la mandaria parar no primeiro minuto. É R que produz um limiar.
Há uma justificativa mais forte para R ser o objetivo correto, que dispensa a analogia com forrageamento. Dispondo de um tempo total T repartido em N ciclos de (t+x), o aprendizado total é N\,S(t). Como N=T/(t+x):
Maximizar o aprendizado de uma noite de duração fixa é idêntico a maximizar R. A pausa entra no denominador porque é tempo pago sem colheita.
Nenhum modelo de quando parar vale sem dados de como o desempenho evolui. Construiu-se para isso um instrumento de coleta em navegador, disponível publicamente, que apresenta itens de estudo um a um e registra o instante de cada evento com precisão de milissegundos.
O protocolo final funciona assim. Um texto curto e autocontido aparece sozinho; ao terminar de ler, o participante pressiona a barra de espaço e o texto desaparece, substituído por uma pergunta cuja resposta tem de uma a três palavras. A resposta é escrita à mão em caderno numerado, e nova pressão da barra avança. Nada de gabarito, contagem, relógio ou sinal de desempenho aparece durante a sessão. A correção acontece integralmente no fim, cartão por cartão, contra o caderno.
Essa arquitetura resolve três problemas de medição. O texto sumir antes da pergunta garante que se mede recuperação da memória, e não leitura da resposta. A separação entre o tempo de leitura e o tempo de resposta permite localizar em qual canal a fadiga age. E adiar toda a correção impede que saber o próprio desempenho altere o desempenho medido.
As quatro primeiras sessões usaram um banco de 1.004 exercícios de derivadas, gerados programaticamente a partir de listas de cálculo da Universidade de Brasília, com itens isomórficos dentro de cada rótulo — mesma estrutura, coeficientes diferentes.
Nenhuma delas mostrou fadiga. Nos três blocos de 35 minutos, o modelo constante venceu na comparação por AICc, e a taxa de acerto subiu de bloco para bloco: 2,00, depois 2,34, depois 2,78 acertos por minuto. Na sessão contínua de 115 minutos, a acurácia atingiu 99,3%, saturando o teto e deixando de medir qualquer coisa.
A consequência foi trocar integralmente a tarefa. Construiu-se um banco de 355 cartões de leitura de História, cada um com um texto autocontido de quatro a cinco frases seguido de uma pergunta de resposta curta, cobrindo colonização da América do Norte, revoluções inglesas, Iluminismo e Revolução Industrial. O conteúdo foi extraído de material didático do participante — capítulos de História Geral e do Brasil, de Freitas Neto e Tasinafo, e apresentações de aula.
Os dados de flashcards mostram rendimento que cai no início e depois estabiliza num patamar. Três caminhos independentes conduzem à mesma forma funcional.
Parte-se de uma hipótese sobre o mecanismo, não sobre o formato: o rendimento cai proporcionalmente ao quanto ainda está acima do piso sustentável.
Trata-se da mesma equação da lei de resfriamento de Newton. Separando variáveis e integrando com r(0)=r_0:
Definindo b=r_0-c:
Jaber, Givi e Neumann propuseram em 2013 um modelo que incorpora fadiga e recuperação ao processo de aprendizado e esquecimento em trabalho repetitivo. Nele, a fadiga acumulada é saturante:
Se o desempenho decai proporcionalmente à fadiga acumulada, com \alpha sendo a fração que ela consegue derrubar:
É a mesma expressão. Os parâmetros ganham leitura física: c é o que sobra quando a fadiga satura por completo, b é quanto ela chega a tirar, k=\lambda é a taxa com que se instala, e \alpha = b/(b+c) é a fração derrubável do desempenho.
Quatro famílias foram ajustadas e comparadas por AICc: constante, linear, exponencial composta r_0e^{-\lambda t} e a saturante com assíntota. A constante venceu nos blocos de derivadas, revelando b\approx 0. A composta foi rejeitada porque decai a zero, incompatível com o patamar observado. A linear cruzaria o zero. Restou a saturante.
| parâmetro | unidade | papel no gráfico |
|---|---|---|
| c | acertos/min | o piso onde a curva pousa; sobe ou desce a curva inteira |
| b | acertos/min | a altura da queda; parte-se de c+b |
| k | min−1 | a pressa da queda; não muda início nem fim |
| t_{1/2}=\ln 2/k | min | tempo para percorrer metade da queda |
Integrando o rendimento termo a termo:
O fator 1/k surge porque a primitiva de e^{-ku} é -\tfrac{1}{k}e^{-ku}.
Compare-se com um estudante hipotético que rendesse o piso desde o minuto zero, acumulando c\,t. A diferença é:
A análise dimensional confirma a leitura: b/k tem unidade de (\text{acertos}/\text{min})\div(1/\text{min}), ou seja, acertos — uma contagem pura. É o bônus que o frescor inicial concede.
O custo da fadiga é outra conta, medida contra quem nunca cansasse:
O modelo de Charnov pressupõe ganho saturante — uma curva que dobra até um teto, porque a mancha se esgota. Isso equivale a c=0.
Sete ajustes independentes rejeitam essa premissa. Comparando por AICc três modelos — linear puro, exponencial saturante pura S_{\max}(1-e^{-kt}), e a combinação linear mais saturante — a combinação vence, e a decomposição mostra o termo linear carregando de 74% a 100% do acumulado.
| sessão | tarefa | modelo vencedor | peso do termo linear |
|---|---|---|---|
| 02/08, blocos 1–3 | derivadas | linear puro | 100% |
| 04/08, contínua | derivadas | linear + saturante | 99% |
| 10/08, contínua | flashcards | linear + saturante | 86% |
| 11/08, contínua | flashcards | linear + saturante | 74% |
| 12/08, ciclada | flashcards | linear + saturante | 91% |
A saturante pura só consegue ajustar projetando tetos absurdos: 65 acertos alcançados apenas aos 755 minutos numa sessão de 116; 4.987 acertos aos 9.059 minutos noutra de 115. Um patamar situado de oito a oitenta vezes além do horizonte medido não é um patamar — é uma reta disfarçada.
Derivando R(t)=S(t)/(t+x) pela regra do quociente, lembrando que S'(t)=r(t):
O denominador é sempre positivo, de modo que o sinal de R' é o sinal do numerador. Anulando:
Pare quando o rendimento do momento igualar a média já descontada a pausa. Acima dela, continuar puxa a média para cima; abaixo, puxa para baixo.
Geometricamente, R(t) é a inclinação da reta que liga o ponto (-x,\,0) ao ponto (t,\,S(t)). Maximizá-la é traçar dessa origem a reta tangente a S — que é exatamente o diagrama de Charnov, com a pausa x no lugar do tempo de viagem.
Defina-se g(t)=r(t)(t+x)-S(t), cujo zero é o limiar. Derivando, os termos em r(t) se cancelam:
Logo g é estritamente decrescente. Basta examinar os extremos:
Uma função decrescente que começa positiva cruza o zero se e somente se termina negativa:
A análise dimensional valida a expressão: b/(kc) resulta em minutos, o que torna legítima a comparação com a pausa x. Se pausas excedem essa razão, não existe limiar — o modelo passa a dizer que nunca compensa parar.
No caso clássico com c=0, isolar t em r(t)=R é direto e fornece t^*=\frac{1}{k}\ln\!\left(r_0/R\right). Com c>0 a equação deixa de ser elementar.
Substituindo U=e^{-kt} e portanto t=-\ln U/k na condição de parada, e reorganizando, obtém-se:
Com a substituição w = 1+kx-\ln U, a equação assume a forma canônica w\,e^{-w} = A\,e^{-(1+kx)}, cuja inversa é a função W de Lambert:
A expressão passa nas duas verificações obrigatórias: recai em \frac{1}{k}\ln(r_0/R) quando c\to 0, e deixa de ter solução real quando x \ge b/(kc). Confrontada com a solução numérica, concorda com erro da ordem de 10−14 minutos.
Escrever R(t)=S(t)/(t+x) como taxa de longo prazo supõe que cada ciclo reproduza a mesma curva — ou seja, que a pausa devolva o estudante ao estado inicial. Essa suposição precisava ser medida.
A primeira tentativa comparou a média dos três cartões anteriores à pausa com a dos três posteriores. Os cinco resultados foram −2%, +47%, +7%, +8% e −17%, aparentemente contraditórios, e a conclusão precipitada foi de que a recuperação exponencial não descrevia os dados.
A conclusão estava errada. Com variabilidade entre cartões de CV=38\%, o erro-padrão da diferença entre médias de n cartões é:
Todas as cinco medidas cabem nessa barra. Testando a média contra zero: t=0{,}81, p=0{,}463. Não havia contradição — havia ruído, e leu-se padrão onde não existia.
Em vez de comparar bordas, ajusta-se uma reta à duração por cartão dentro de cada bloco e compara-se o intercepto, que estima a duração inicial. Isso emprega todos os cartões do bloco em vez de seis:
| sessão | bloco | n | intercepto | déficit | \rho |
|---|---|---|---|---|---|
| 25·5 × 4 | 1 | 11 | 117,2 s | — | 1,000 |
| 2 | 11 | 170,8 s | +45,7% | 0,686 | |
| 3 | 12 | 144,0 s | +22,8% | 0,814 | |
| 4 | 13 | 125,6 s | +7,2% | 0,933 | |
| 40·5 × 3 | 1 | 12 | 176,2 s | — | 1,000 |
| 2 | 10 | 237,7 s | +34,9% | 0,741 | |
| 3 | 10 | 226,2 s | +28,4% | 0,779 |
Em dois participantes e dois protocolos, o bloco 2 arranca substancialmente pior que o bloco 1, e os seguintes recuperam progressivamente. Uma pausa de cinco minutos devolve entre 69% e 74% do estado inicial. Adotando a forma de Jaber:
Recuperação cerca de dez vezes mais rápida que a instalação da fadiga, o que é compatível com a literatura de trabalho-descanso.
Com 11 cartões por bloco, apenas déficits acima de 30% são detectáveis. Os observados, de 35% e 46%, situam-se exatamente acima desse limite. A existência de recuperação incompleta é sustentável; um valor preciso de \mu, ainda não.
Com \rho<1, cada bloco começa com um resíduo \tau_n de fadiga não removida, que evolui como \tau_{n+1}=(\tau_n+T)(1-\rho). Ao longo de muitos ciclos essa recorrência converge. No ponto fixo:
Em regime, todo ciclo é idêntico e o rendimento inicial de cada bloco deixa de ser algo a medir: passa a ser deduzido.
| sessão | protocolo | n | c | b/k | k | b/(kc) | Δ leitura |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11/08 · A | contínua 115 | 32 | 0,223 | 2,97 | 0,076 | 13,3 min | −15% |
| 11/08 · B | contínua 115 | 35 | 0,212 | 9,47 | 0,023 | 44,7 min | −35%** |
| 12/08 · A | 25·5 × 4 | 47 | 0,370 | 0,00 | — | — | +57% |
| 12/08 · B | 40·5 × 3 | 32 | 0,231 | 2,73 | 0,035 | 11,8 min | −30%* |
Δ leitura é a variação percentual da velocidade de leitura, em palavras por segundo, ao longo da sessão. Significância: ** p<0{,}01, * p<0{,}05.
| sessão | \rho=1{,}00 | \rho=0{,}70 |
|---|---|---|
| 11/08 · B | 32 min | 23 min |
| 12/08 · B | 45 min | 35 min |
Testada empiricamente sobre 180 cartões: o número de palavras explica apenas R^2=0{,}052 do tempo de leitura, e a normalização reduz a variabilidade em 5%. A dispersão provém do conteúdo — densidade conceitual, familiaridade prévia — e não do volume de texto. Mantida por rigor, com efeito declaradamente pequeno.
Com cerca de 32 cartões por sessão, janelas de 5 ou 10 minutos contêm 2 a 3 cartões e o rendimento assume apenas valores discretos. Nessa resolução o modelo constante vence por AICc mesmo quando a desaceleração cartão a cartão é significativa. A evidência primária é, portanto, cartão a cartão e o ajuste de S(t).
CHARNOV, E. L. Optimal foraging, the marginal value theorem. Theoretical Population Biology, v. 9, n. 2, p. 129–136, 1976. — origem do teorema, da regra r(t^*)=R(t^*) e da construção geométrica da tangente a partir de (-x,0).
JABER, M. Y.; GIVI, Z. S.; NEUMANN, W. P. Incorporating human fatigue and recovery into the learning–forgetting process. Applied Mathematical Modelling, v. 37, 2013. — origem da forma saturante da fadiga acumulada e da recuperação exponencial \rho(x)=1-e^{-\mu x}.
FREITAS NETO, J. A.; TASINAFO, C. R. História Geral e do Brasil. — fonte do conteúdo dos cartões de leitura, junto de material de aula do participante.
Listas de Cálculo da Universidade de Brasília — base dos bancos de exercícios de derivadas da primeira fase.
Lei de resfriamento de Newton — a equação diferencial dr/dt=-k(r-c) é formalmente idêntica, e a analogia do café esfriando foi usada para dar leitura física aos parâmetros.
Função W de Lambert — inversa de w\,e^{w}, empregada na solução fechada do limiar.