O que cada técnica estatística responde, como se calcula, e o exemplo com os dados
do projeto.
Documento de referência para o artigo e para a defesa oral.
Dado um conjunto de pontos e uma família de curvas candidatas, qual curva descreve melhor os pontos?
Para cada ponto, mede-se a distância vertical até a curva — o resíduo. Elevam-se todos ao quadrado e somam-se. A melhor curva é a que minimiza essa soma.
SQE = Σ (valor observado − valor previsto)²
Duas perguntas que valem responder antes que alguém as faça. Por que distância vertical e não perpendicular? Porque o eixo horizontal — o tempo — é conhecido sem erro; a incerteza está no eixo vertical. Por que ao quadrado? Porque somando resíduos com sinal os positivos cancelariam os negativos, e porque o quadrado pune desvio grande muito mais que desvio pequeno, impedindo que a curva abandone pontos isolados.
Minimizar a soma dos quadrados é matematicamente idêntico a escolher os parâmetros que tornam os dados observados mais prováveis — o método da máxima verossimilhança — sob três condições: erros com distribuição normal, com o mesmo espalhamento ao longo de toda a faixa, e independentes entre si. É por isso que o método se generalizou.
Responder se uma medida mudou ao longo da sessão: a duração por cartão, o tempo de leitura, o tempo de resposta, a velocidade de leitura, o tamanho do texto. É de onde saem todos os valores de p das tabelas de sessões.
Σ (tᵢ − t̄)·(yᵢ − ȳ)
inclinação s = ─────────────────────
Σ (tᵢ − t̄)²
intercepto a = ȳ − s·t̄
A fórmula da inclinação mede, para cada ponto, o quanto ele está afastado da média em cada eixo, e pergunta se os afastamentos andam juntos. Pontos próximos da média quase não influenciam; quem decide a inclinação são os extremos.
A hipótese nula é H₀: s = 0 — nada mudou ao longo da sessão. O procedimento tem
quatro passos:
1) resíduos e sua soma de quadrados: SQE = Σ (yᵢ − ŷᵢ)²
2) desvio típico dos resíduos: σ = √( SQE / (n − 2) )
3) erro padrão da inclinação: EP(s) = σ / √( Σ (tᵢ − t̄)² )
4) estatística e p: t = s / EP(s)
p = área bilateral da t de Student
com (n − 2) graus de liberdade além de |t|
O numerador do erro padrão é a bagunça dos dados; o denominador é o espalhamento do tempo. Por isso uma sessão longa detecta inclinações menores que uma curta com o mesmo ruído — e por isso a duração da sessão não é questão de conforto, e sim de poder de detecção.
O n − 2 são os graus de liberdade: dois pedaços de informação foram gastos
para estimar inclinação e intercepto. Com apenas dois pontos a reta passa exatamente por eles e o
resíduo é zero, mas não sobra nada para julgar a precisão.
Duração por cartão contra o tempo, sessão contínua de 11 de agosto:
n = 35 cartões t̄ = 55,4316 min ȳ = 199,3889 s Σ(t−t̄)(y−ȳ) = +31 427,389 Σ(t−t̄)² = 42 191,476 s = 31 427,389 / 42 191,476 = +0,744875 s por minuto SQE = 75 601,97 σ = √(75 601,97 / 33) = 47,864 s EP = 47,864 / √42 191,5 = 0,233022 t = 0,744875 / 0,233022 = 3,1966 p = 0,003061
O p é a probabilidade de observar uma tendência ao menos tão forte quanto a medida, caso não houvesse tendência alguma. Não é a probabilidade de a fadiga não existir, não mede o tamanho do efeito, e um p alto não prova ausência de efeito — prova apenas que aquela amostra não teve poder para separá-lo do ruído. O corte convencional em 5% é arbitrário, herdado da prática de Fisher, e por isso este trabalho reporta o valor em vez de apenas classificar.
Estimar c, b e k do modelo de rendimento. Diferentemente
da reta, aqui não existe fórmula fechada, porque k aparece dentro da exponencial.
Tem fórmula fechada todo modelo em que cada parâmetro apenas multiplica algo conhecido — a reta, a parábola, a soma de logaritmos. Não tem fórmula fechada quando algum parâmetro está preso dentro de uma exponencial ou de um denominador. O teste é direto: se um parâmetro não pode ser isolado por álgebra, o ajuste é iterativo.
Por busca iterativa: chuta-se um valor, calcula-se o erro, ajusta-se o chute na direção que o reduz, repete-se até parar de melhorar. O risco é parar num mínimo local — um fundo de poço que não é o mais fundo. A defesa é partir de várias inicializações diferentes e ficar com a melhor.
O modelo tem uma propriedade útil: fixado k, ele fica linear em c e
em b/k, porque ambos passam a multiplicar colunas conhecidas.
S(t) = c · [ t ] + (b/k) · [ 1 − e^(−kt) ]
└ parâmetro × coluna conhecida ┘
Então varre-se k num intervalo, e para cada valor resolve-se c e
b/k por fórmula fechada exata. O k escolhido é o de menor erro. O mínimo
fica visível numa tabela, sem depender de chute inicial.
k c b/k soma dos resíduos² 0,0040 −0,1481 135,23 6,8447 ← c negativo, impossível 0,0120 0,1433 22,04 5,6327 0,0200 0,2008 11,16 5,1291 0,0240 0,2149 9,06 5,0955 ← mínimo 0,0320 0,2323 6,78 5,3595 0,0600 0,2556 4,26 7,9622
Além de robusto, o procedimento gera evidência apresentável: o parâmetro foi encontrado, e a coluna do erro mostra por quê.
Decidir entre formas concorrentes de ganho acumulado — reta pura, saturante pura, e a combinação de reta com saturante. É o método que sustenta a afirmação central do trabalho: que o rendimento estaciona num piso em vez de cair a zero.
Modelo com mais parâmetros sempre ajusta melhor, porque tem mais liberdade para acompanhar os pontos. Comparar apenas pelo erro premiaria automaticamente o mais complicado. O critério de informação cobra pelo parâmetro extra: o modelo maior só vence se a melhora no erro compensar o custo.
AIC = n · ln( SQE / n ) + 2K
2K(K + 1)
AICc = AIC + ──────────
n − K − 1
onde n = número de observações
K = número de parâmetros + 1 (a variância também é estimada)
O primeiro termo mede o desajuste; o segundo é a multa. A correção que transforma AIC em AICc importa quando a amostra é pequena em relação ao número de parâmetros, que é exatamente o caso aqui. Vence o menor valor, e o valor absoluto não significa nada — só a diferença entre modelos aplicados aos mesmos dados.
Sessão contínua de 11 de agosto, três formas concorrentes:
reta pura AICc = +30,0 saturante pura AICc = −52,4 reta + saturante AICc = −58,1 ← vence
E o diagnóstico que acompanha: a saturante pura só descreve os pontos projetando teto de 65 acertos, alcançado aos 755 minutos, contra os 116 minutos efetivamente medidos. Dentro da janela observada, ela é uma reta disfarçada de curva — o que explica por que perde para a forma com piso explícito.
Obter intervalos de confiança para c, b, k e para o
próprio limiar t*, sem depender de fórmulas que só valem para modelos lineares.
Para saber quanto uma estimativa variaria se o experimento fosse repetido, seria preciso repetir o experimento. Como isso é inviável, o bootstrap fabrica repetições a partir dos próprios dados: os resíduos do ajuste são uma amostra do ruído, e reembaralhá-los produz sessões fictícias igualmente plausíveis.
1) ajusta o modelo, guarda a curva prevista e a lista de resíduos 2) sorteia n resíduos dessa lista COM REPOSIÇÃO 3) soma-os à curva prevista → nasce uma sessão fictícia 4) reajusta o modelo nela e anota o parâmetro obtido 5) repete alguns milhares de vezes 6) o intervalo de 95% são os percentis 2,5 e 97,5 dos valores obtidos
O sorteio com reposição é essencial: sem ele, cada repetição seria uma permutação dos mesmos resíduos e a dispersão sairia subestimada.
parâmetro c, sessão de referência, 4 000 reamostragens c mediano 0,2138 intervalo de 95% [0,132 ; 0,241] reamostragens com c abaixo de 0,05 0,3%
O intervalo é assimétrico porque c e b disputam entre si: um ajuste
pode reduzir o piso e compensar aumentando o bônus. Ainda assim, forçando o piso para baixo o
quanto a matemática permite, ele não se aproxima de zero.
Obter o intervalo do parâmetro de recuperação μ, cuja estimativa pontual cai na
fronteira do domínio — situação em que o bootstrap não funciona bem, porque a distribuição fica
truncada.
1) fixa μ num valor
2) reajusta TODOS os demais parâmetros com μ preso ali, e anota o erro mínimo
3) repete para uma grade de valores de μ
4) o menor erro de todos define E₀
5) pertencem ao intervalo de 95% os valores de μ cujo erro satisfaz
⎡ F(1, n−K) a 95% ⎤
E ≤ E₀ ⎢ 1 + ─────────────── ⎥
⎣ n − K ⎦
A lógica é a mesma de todo intervalo de confiança: pertencem a ele os valores do parâmetro que não pioram o ajuste além do que o acaso explicaria.
sessão de 15 de agosto, n = 33, K = 4, F(1,29) a 95% = 4,18
erro mínimo E₀ = 1,3306 limiar = 1,5226
μ erro Δ
0,000 1,3306 +0,0000 ← mínimo
0,040 1,3596 +0,0290
0,120 1,4552 +0,1245
0,200 1,5283 +0,1977 ← acima do limiar
IC 95% de μ = [0,000 ; 0,190] → recuperação de no máximo 61% em 5 min
As quatro técnicas seguintes não produzem resultados próprios; servem para conferir se os resultados principais dependem das suposições feitas.
| técnica | o que verifica | como funciona |
|---|---|---|
| Correlação de Spearman | se as tendências dependem de ter escolhido a reta como forma | substitui cada valor pela sua posição na ordenação e correlaciona as posições; supõe apenas monotonicidade |
| Teste de embaralhamento | se os valores de p dependem da suposição de normalidade | embaralha os valores destruindo a relação com o tempo, reajusta milhares de vezes, e conta em que fração o acaso reproduz o efeito medido |
| Durbin-Watson | se os resíduos são independentes, como o método supõe | compara a soma das diferenças entre resíduos consecutivos com a soma dos resíduos ao quadrado; 2,0 indica independência |
| Teste exato de Fisher | se a acurácia caiu ao longo da sessão | calcula diretamente a probabilidade de a tabela observada surgir por acaso; apropriado para contagens pequenas, em que a aproximação do qui-quadrado falha |
É o mais instrutivo dos quatro, porque calcula o p pela definição, sem nenhuma fórmula:
1) calcula a inclinação real +0,7449 s/min 2) embaralha as durações, mantendo os tempos fixos 3) reajusta a reta e anota a inclinação falsa 4) repete 20 000 vezes 5) conta quantas falsas ficaram tão extremas quanto a real 70 6) p = 70 / 20 000 = 0,0035 p pelo teste t (fórmula): 0,00306 p por embaralhamento (contagem): 0,0035
A concordância entre os dois mostra que a suposição de normalidade não está distorcendo o resultado — o efeito está no dado, não na fórmula.
projetos/limiar/: analise-sessoes.py reproduz os valores de p a partir
dos arquivos brutos; gerar-relatorio-sessoes.py reproduz parâmetros, intervalos e
comparações de modelo.