LIMIAR — o modelo matemático

De onde vêm os parâmetros, todas as leis de formação em forma algébrica e com os valores medidos substituídos, e o que o modelo ainda não sabe.
Estado em 11 de agosto de 2026, após seis sessões.

1. De onde saíram c, b e k

Eles não estavam na teoria: são o nome que se dá aos três graus de liberdade de uma escolha de modelo. Medimos uma coisa só — quantos acertos por minuto você produz em cada instante da sessão, que chamamos de r(t). Os dados mostram que essa grandeza cai no começo e depois para de cair, estabilizando num patamar. A família de funções mais simples com esse comportamento é a exponencial decrescente com assíntota, e ela tem exatamente três números livres:

r(t) \;=\; \underbrace{c}_{\text{para onde cai}} \;+\; \underbrace{b}_{\text{quanto cai}}\cdot\, e^{-\overbrace{k}^{\text{quão rápido}}\, t}

Ajustar o modelo é procurar os três valores que fazem a curva passar mais perto dos pontos medidos. Antes do ajuste eles não significam nada; depois, cada um ganha leitura física.

c: O piso. Rendimento que você sustenta indefinidamente depois que a fadiga se instalou por completo. Em acertos por minuto. Formalmente é o limite \lim_{t\to\infty} r(t) = c.
b: A altura da queda. Você parte de r(0)=c+b e desce até c; logo b é o tamanho do fenômeno da fadiga. Se b=0, não existe fadiga alguma — foi o que aconteceu nos blocos de derivadas. Em acertos por minuto.
k: A pressa da queda. Não diz quanto você cai, diz em quanto tempo. Unidade: por minuto. Lê-se melhor pela meia-vida.

meia-vida — algébrico

t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}

com o valor medido em 11/08

t_{1/2} = \frac{\ln 2}{0{,}0230} = 30{,}1\ \text{min}

Metade de toda a sua fadeira se instala nos primeiros 30 minutos de sessão.

2. A curva de fadiga

rendimento instantâneo — algébrico

r(t) = c + b\,e^{-kt}

substituindo os valores de 11/08

r(t) = 0{,}2120 + 0{,}2178\,e^{-0{,}0230\,t} \quad\left[\tfrac{\text{acertos}}{\text{min}}\right]

Leitura direta: você começa em r(0)=0{,}430 acertos por minuto e termina estabilizado em 0{,}212 — ou seja, o rendimento final é menos da metade do inicial. A inclinação da curva é

velocidade da queda

r'(t) = -\,b\,k\,e^{-kt} \qquad\Rightarrow\qquad r'(0) = -\,b\,k = -0{,}0050\ \tfrac{\text{acertos}}{\text{min}^2}

Sempre negativa e máxima em módulo em t = 0. A queda é mais forte no início e vai suavizando — por isso começar cansado enfraquece o sinal, já que se entra direto na parte achatada da curva.

3. O ganho acumulado e sua decomposição

O total de acertos até o instante t é a integral do rendimento. Integrando termo a termo:

dedução

S(t) = \int_0^t \left(c + b\,e^{-ku}\right) du = \Big[\,c\,u\,\Big]_0^t + b\left[\,-\tfrac{1}{k}e^{-ku}\right]_0^t = c\,t + \frac{b}{k}\left(1 - e^{-kt}\right)

substituindo os valores de 11/08

S(t) = 0{,}2120\,t \;+\; 9{,}47\left(1 - e^{-0{,}0230\,t}\right) \quad[\text{acertos}]

Esta é a fórmula central do projeto, e ela tem duas partes de natureza oposta:

parte	forma	comportamento	em t = 116 min	peso
linear	c\,t	cresce para sempre	24,6 acertos	74%
saturante	\frac{b}{k}\!\left(1-e^{-kt}\right)	trava no teto b/k	8,8 acertos	26%
total	S(t)	—	33,5 (medido: 34)	100%

Correção importante. Uma versão anterior desta página dizia que b/k era “o total de acertos que a fadiga custou”. Isso está errado — o sinal é o oposto. A seção 4 explica o que b/k é de fato.

4. O que b/k realmente significa

Repare em quem é o teto da parte saturante. Quando t\to\infty, o termo e^{-kt}\to 0 e sobra

\lim_{t\to\infty}\frac{b}{k}\left(1-e^{-kt}\right) = \frac{b}{k}

Para entender o que esse número mede, compare-se com um estudante fantasma que tivesse trabalhado no piso desde o primeiro minuto — ou seja, que já chegasse cansado e rendesse c o tempo inteiro. Ele acumularia

S_{\text{piso}}(t) = c\,t

A diferença entre você e esse fantasma é exatamente a parte saturante:

S(t) - S_{\text{piso}}(t) = \frac{b}{k}\left(1-e^{-kt}\right) \;\xrightarrow[t\to\infty]{}\; \frac{b}{k}

b/k é o bônus que o seu frescor inicial te deu — quantos acertos a mais você produziu por ter começado descansado, em vez de já começar no piso. É um ganho, não uma perda. E ele satura: depois de umas quatro meias-vidas o frescor se esgotou e ele para de crescer.

conferindo com 11/08

\underbrace{33{,}5}_{S(116)} - \underbrace{24{,}6}_{c\cdot 116} = 8{,}8 \;\approx\; \frac{b}{k} = 9{,}47

Chegou a 8,8 dos 9,47 possíveis: em 116 minutos você já consumiu 93% do bônus que o frescor tinha para oferecer.

E qual é, então, o custo da fadiga?

O custo se mede contra outro fantasma: um que nunca cansasse e mantivesse r(0)=c+b para sempre.

\text{Custo}(t) = \underbrace{(c+b)\,t}_{\text{sem cansar nunca}} - \underbrace{S(t)}_{\text{real}} = b\,t - \frac{b}{k}\left(1-e^{-kt}\right)

em 11/08, t = 116 min

\text{Custo} = 0{,}430\cdot 116 - 33{,}5 = 49{,}9 - 33{,}5 = 16{,}4\ \text{acertos}

Note a assimetria: o bônus é limitado (trava em b/k) e o custo é ilimitado (cresce como bt). Quanto mais longa a sessão, pior a troca — e é precisamente essa assimetria que faz existir um momento ótimo de parar.

5. O objetivo do MVT

taxa média global — algébrico

R(t) = \frac{S(t)}{t+x} = \frac{c\,t + \frac{b}{k}\left(1-e^{-kt}\right)}{t+x}

11/08, com pausa de x = 10 min

R(t) = \frac{0{,}2120\,t + 9{,}47\left(1-e^{-0{,}0230t}\right)}{t+10}

A pausa x entra no denominador porque é tempo que se paga sem colher nada. É isso que torna R a única das três grandezas com máximo interior: S só cresce (mandaria nunca parar) e r só cai (mandaria parar no primeiro minuto).

Por que esse é o objetivo certo

N \cdot S(t) = \frac{T}{t+x}\,S(t) = T\cdot R(t)

Com um tempo total fixo T repartido em N ciclos de (t+x), maximizar o aprendizado da noite inteira é idêntico a maximizar R(t). Não é analogia com forrageio: é a formulação do problema de quem tem a noite contada.

6. A regra de parada

derivada do quociente

R'(t) = \frac{r(t)(t+x) - S(t)}{(t+x)^2}

anulando o numerador

r(t^*)\,(t^*+x) = S(t^*) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\,r(t^*) = R(t^*)\,}

Pare quando o rendimento do momento igualar a sua média já descontada a pausa. Acima da média, continuar puxa a média para cima; abaixo dela, continuar puxa para baixo.

7. Quando o Limiar existe — e a resposta sobre a parte linear

Definindo g(t)=r(t)(t+x)-S(t), o Limiar é a raiz de g. Derivando, os termos em r(t) se cancelam:

g'(t) = r'(t)(t+x) + r(t) - r(t) = -\,b\,k\,e^{-kt}(t+x) \;<\; 0

Logo g é estritamente decrescente. Basta então olhar os extremos:

g(0) = (c+b)\,x \;>\; 0 \qquad\qquad \lim_{t\to\infty} g(t) = c\,x - \frac{b}{k}

Uma função decrescente que começa positiva cruza o zero se e somente se termina negativa:

c\,x - \frac{b}{k} < 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\;x \;<\; \frac{b}{k\,c}\;}

11/08

x < \frac{9{,}47}{0{,}2120} = 44{,}7\ \text{min}

Sim, o MVT continua aplicável. A parte linear não o destrói — ela aparece na condição de existência, como o c do denominador. O que a decomposição revela é por que o Limiar existe: não porque a “mancha se esgota”, mas porque o bônus do frescor satura enquanto o tempo continua correndo. É a razão b/k contra c que decide, e o Limiar existe sempre que a pausa for menor que essa razão.

8. A forma no tempo por cartão

forma saturante, à la Jaber

d(t) = D - A\,e^{-kt}

alternativa composta — rejeitada pelos dados

d(t) = d_0\,e^{\lambda t}

A composta preveria tempo por item disparando sem limite; a saturante prevê patamar. Os dados apoiam a saturante, o que confirma qualitativamente Jaber, Givi e Neumann.

Medida normalizada — a mais limpa do projeto

v(t) = \frac{\text{palavras do texto}}{\text{tempo de leitura (s)}}

regressão de 11/08

v(t) = 0{,}506 - 0{,}00151\,t \qquad (p = 0{,}007;\ \rho_{\text{Spearman}} = -0{,}474)

Queda de 35% em 116 minutos, com o tamanho dos textos comprovadamente constante ao longo da sessão (p = 0,56). Dividir pelo tamanho do texto é o que impede que variação de material seja confundida com fadiga.

9. Parâmetros medidos nas seis sessões

sessão	tarefa	c	b	b/k	k	t½	b/(kc)
02/08 blocos 1–3	derivadas	2,0–2,8	≈0	0,00	≈0	—	—
04/08 contínua	derivadas	2,438	0,953	3,30	0,289	2,4 min	1,4 min
10/08 contínua	flashcards	0,470	0,273	9,12	0,030	23 min	29 min
11/08 contínua	flashcards	0,212	0,218	9,47	0,023	30 min	44,7 min
11/08 (pai)	flashcards	0,223	0,226	2,97	0,076	9,1 min	13,3 min

Duas leituras que os números sustentam. Nos blocos de derivadas b\approx 0: não havia fadiga a modelar, porque executar procedimento dominado é processamento automático. E entre as duas sessões de flashcards do mesmo sujeito, b/k deu 9,12 e 9,47 — diferença de 4% — enquanto c caiu pela metade, sugerindo que b e k pertencem ao par sujeito-tarefa e c depende do material estudado.

Ressalva metodológica: os parâmetros acima vêm do ajuste de S(t) sobre todos os cartões (35 pontos em 11/08). O ajuste feito sobre janelas de 10 minutos, com apenas 12 pontos e forte quantização, dá valores diferentes (c = 0,255; b = 0,168; k = 0,036) e é considerado secundário.

10. O que o modelo ainda não sabe

Tudo acima descreve o que acontece dentro de um bloco. Escrever R(t)=S(t)/(t+x) como taxa de longo prazo supõe, sem ter medido, que a pausa devolve o estudante ao ponto de partida — só assim cada ciclo repete S(t). Falta a função de recuperação:

\rho(x) = 1 - e^{-\mu x} \qquad\text{com}\qquad \rho(x)=1 \iff \text{recuperação total}

Se ρ(x) < 1, os ciclos não são idênticos, o resíduo de fadiga acumula e o problema deixa o Charnov clássico e entra em controle ótimo — blocos que encurtam ao longo da sessão. Medir μ exige sessões com pausas de durações diferentes, comparando onde o bloco seguinte arranca em relação ao anterior. Até lá, qualquer t* calculado é condicional.

Projeto LIMIAR · 31ª Feira de Ciências do Colégio Militar de Curitiba · 28 e 29 de agosto de 2026
Parâmetros ajustados sobre as seis sessões realizadas entre 1 e 11 de agosto de 2026.